1992-上海-21 解-两角和与反三角函数

本题导读

本题考查两角和与反三角函数。核心在于由已知单角三角函数值结合象限确定和角的区间。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 已知 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$，$\cos \beta =-\frac{12}{13}$，其中 $\alpha ,\beta \in (0,\pi )$，求 $\alpha +\beta$（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

先由余弦求正弦并定象限，再用和角余弦求 $\cos (\alpha +\beta )$，最后定区间用反余弦表示。

✅【答案】

Success

$\alpha +\beta =\pi +\arccos \frac{33}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha ,\beta \in (0,\pi )$ 及 $\cos \alpha =\frac{4}{5}>0$、$\cos \beta =-\frac{12}{13}<0$，知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，故 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\sin \beta =\frac{5}{13}$。于是 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=-\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=-\frac{63}{65}$。又 $\alpha +\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$，且 $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{63}{65}$ 对应钝角，故 $\alpha +\beta =\pi +\arccos \frac{33}{65}$（等价于 $\pi -\arccos \frac{63}{65}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和与反三角函数

核心方法：$\cos \alpha =\frac{4}{5},\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\cos \beta =-\frac{12}{13},\sin \beta =-\frac{5}{13}$，$\cos (\alpha +\beta )=-\frac{33}{65}$，$\alpha +\beta =\pi +\arccos \frac{33}{65}$

避坑指南：和角公式定区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和与反三角函数

结论推广：由倍角与象限求单角三角函数

方法推广：和角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值
• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值
• 1995-上海文-21A 解-正切的倍角与三角求值