1996-上海文-19 解-二倍角公式求值

本题导读

本题考查二倍角公式与诱导公式的综合运用，核心在于由两角正弦积化出 $\cos 2\alpha$ 再求 $\sin 4\alpha$。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 已知 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{1}{6}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，求 $\sin 4\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用诱导公式把 $\sin (\frac{\pi }{4}-\alpha )$ 化为 $\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )$。
2. 用二倍角化出 $\cos 2\alpha$，判断 $\sin 2\alpha$ 符号。
3. 用二倍角求 $\sin 4\alpha$。

✅【答案】

Success

$-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$，得 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}+2\alpha \right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha$。于是 $\frac{1}{2}\cos 2\alpha =\frac{1}{6}$，即 $\cos 2\alpha =\frac{1}{3}$。又 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，故 $2\alpha \in (\pi ,2\pi )$，从而 $\sin 2\alpha =-\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。于是 $\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha =2\times \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\times \frac{1}{3}=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式求值

核心方法：$\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )\sin (\frac{\pi }{4}-\alpha )=\frac{1}{2}(\cos 2\alpha -\cos \frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}\cos 2\alpha =\frac{1}{6}$，得 $\cos 2\alpha =\frac{1}{3}$；$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 得 $2\alpha \in (\pi ,2\pi )$，$\sin 2\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha =2(-\frac{2\sqrt{2}}{3})\cdot \frac{1}{3}=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

避坑指南：积化和差再倍角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二倍角公式

结论推广：一般地，积化和差再倍角

方法推广：积化和差再倍角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-17 解-半角公式与和角公式求值
• 1998-上海理-17 解-二倍角与诱导公式求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值