1994-上海理-21 解-正切的差角与倍角求值

本题导读

本题考查正切的差角与倍角公式。核心在于由已知正弦与正切逐步求出目标正切值。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） 已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\tan (\pi -\beta )=\frac{1}{2}$，求 $\tan (\alpha -2\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin \alpha$ 求 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$。
2. 由 $\tan (\pi -\beta )$ 求 $\tan \beta$，再求 $\tan 2\beta$。
3. 用差角公式求 $\tan (\alpha -2\beta )$。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{24}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，得 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，故 $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。 又 $\tan (\pi -\beta )=\frac{1}{2}$，故 $\tan \beta =-\frac{1}{2}$，从而 $\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }=\frac{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{4}{3}$。 于是 $\tan (\alpha -2\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan 2\beta }{1+\tan \alpha \tan 2\beta }=\frac{-\frac{3}{4}-\left(-\frac{4}{3}\right)}{1+\left(-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}=\frac{\frac{7}{12}}{2}=\frac{7}{24}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切的差角与倍角求值

核心方法：$\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 得 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$、$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$；$\tan (\pi -\beta )=\frac{1}{2}$ 得 $\tan \beta =-\frac{1}{2}$，$\tan 2\beta =\frac{2(-\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{4}{3}$，$\tan (\alpha -2\beta )=\frac{-\frac{3}{4}-(-\frac{4}{3})}{1+(-\frac{3}{4})(-\frac{4}{3})}=\frac{7}{24}$

避坑指南：差角与倍角公式链式求值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角恒等变换

结论推广：一般地，差角与倍角公式链式求值

方法推广：差角与倍角公式链式求值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-21A 解-正切的倍角与三角求值
• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值
• 1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值