1995-上海理-21A 解-正切的倍角与三角求值

本题导读

本题考查三角恒等变形求值。核心在于由 $\tan (\frac{\pi }{4}+\theta )$ 求 $\tan \theta$，再用万能公式化 $\sin 2\theta -2{\cos }^2\theta$。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） （选做题，21A 与 21B 二选一）已知 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=3$，求 $\sin 2\theta -2{\cos }^2\theta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由两角和正切公式求 $\tan \theta$。
2. 用万能公式把 $\sin 2\theta -2{\cos }^2\theta$ 化为 $\tan \theta$ 的函数。

✅【答案】

Success

$-\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }=3$，得 $1+\tan \theta =3-3\tan \theta$，解得 $\tan \theta =\frac{1}{2}$。 于是 $\sin 2\theta -2{\cos }^2\theta =\sin 2\theta -\cos 2\theta -1=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }-\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }-1=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}-\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}-1=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-1=-\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切的倍角与三角求值

核心方法：$\tan (\frac{\pi }{4}+\theta )=\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }=3$，解得 $\tan \theta =\frac{1}{2}$；$\sin 2\theta -2{\cos }^2\theta =\sin 2\theta -\cos 2\theta -1=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }-\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }-1=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-1=-\frac{4}{5}$

避坑指南：万能公式化正切

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角恒等变形

结论推广：一般地，万能公式化正切

方法推广：万能公式化正切

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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