1997-上海理-17 解-半角公式与和角公式求值

本题导读

本题考查半角公式（万能公式）与两角和的正弦公式，核心在于由 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 求出 $\sin \alpha ,\cos \alpha$。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 已知 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}$，求 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 用万能公式求 $\sin \alpha ,\cos \alpha$。
2. 用两角和正弦公式求值。

✅【答案】

Success

$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由万能公式，$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$。于是 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式与和角公式求值

核心方法：由 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}$，$\sin \alpha =\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$，故 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{6})=\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$

避坑指南：万能公式再和角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角恒等变换

结论推广：一般地，$\tan \frac{\alpha }{2}$ 用万能公式化 $\sin \alpha ,\cos \alpha$

方法推广：万能公式再和角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-17 解-二倍角与诱导公式求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值