1995-全国卷理-09 单-同角平方关系与倍角公式

本题导读

本题考查三角函数同角基本关系式，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 已知 $\theta$ 是第三象限角，且 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$，那么 $\sin 2\theta$ 等于 ()

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $-\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

高次项配方化简：利用完全平方公式，将已知条件中的四次项通过基本恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行变形： ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^2-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$ 引入二倍角公式：利用 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ⟹\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$，将上式转化为关于 $\sin 2\theta$ 的一元二次方程，从而求出 $(\sin 2\theta {)}^2$。 符号判别确定唯一解：对 $(\sin 2\theta {)}^2$ 进行开方。根据 $\theta$ 是第三象限角，分析出 $\sin \theta <0$ 且 $\cos \theta <0$，两负数相乘其积为正，即二倍角 $\sin 2\theta >0$，从而排除负值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$， 对已知代数式进行配方变形： ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^2-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$

已知 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$，代入得： 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{5}{9} \implies 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \implies 4\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{8}{9}

根据二倍角正弦公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，将其两边平方： $(\sin 2\theta {)}^2=4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$

因此有： $(\sin 2\theta {)}^2=\frac{8}{9}⟹\sin 2\theta =\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

接下来进行符号判定： 因为 $\theta$ 是第三象限角，根据三角函数在各象限的符号特征：

• 终边在第三象限的角的正弦值 $\sin \theta <0$；
• 余弦值 $\cos \theta <0$。

所以，根据二倍角公式的展开结构： $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\times (\text{负数})\times (\text{负数})>0$

因为 $\sin 2\theta$ 必须为正数，故舍去负根，唯一满足条件的解为： $\sin 2\theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

观察选项，A 选项符合该计算结果。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：高次三角式的配方技巧：${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$；各象限角三角函数的符号判定法則（一全正、二正弦、三正切、四余弦）。
2. 核心方法：整体代换法。将 $2\sin \theta \cos \theta$ 作为一个整体块，直接用 $\sin 2\theta$ 替换，避免了单独求解 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$ 的高计算量步骤。
3. 避坑指南：
   • 符号判定失误（最大陷阱）：很多学生一看到 $\theta$ 是第三象限角，便凭直觉认为第三象限的三角函数值都是负的，从而错选 B。应当注意， $\sin 2\theta$ 考查的是二倍角 $2\theta$ 的符号，必须通过 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 两个分量同号相乘的严格代数规律来判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高中数学三角函数章节关于“同角三角函数基本关系与倍角公式综合”的进阶练习题。是考查学生是否具备“见 $\sin \theta \cos \theta$ 联想二倍角”以及“高次化倍角”数学意识的经典题型。
2. 结论推广： 形如正、余弦对称的高次幂式，都可以通过二倍角公式进行参数化降幂：
   • 四次对称式：${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$
   • 六次对称式：${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$ 熟记这两个推广公式，在后续面对高考求三角函数高次幂的最值或周期问题时，可直接实现秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值