1989-上海-21 解-反三角函数与和角公式

本题导读

本题考查反三角函数与和角公式的综合。核心在于设 θ=arctan√6，用二倍角与和角公式求值。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 求 $\cos \left(2\arctan \sqrt{6}+\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $\theta =\arctan \sqrt{6}$，先求 $\cos 2\theta$、$\sin 2\theta$，再用和角公式。

✅【答案】

Success

$-\frac{5+6\sqrt{2}}{14}$（★答案册 $\frac{-5+6\sqrt{2}}{14}$ 系符号笔误，复算得负号）

✍【详细解析】

Abstract

设 $\theta =\arctan \sqrt{6}$，则 $\tan \theta =\sqrt{6}$，$\theta$ 在第一象限，$2\theta$ 在第二象限。$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1-6}{1+6}=-\frac{5}{7}$，$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{2\sqrt{6}}{7}$。故 $\cos \left(2\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2\theta \cos \frac{\pi }{3}-\sin 2\theta \sin \frac{\pi }{3}=-\frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{6}}{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{5}{14}-\frac{6\sqrt{2}}{14}=-\frac{5+6\sqrt{2}}{14}$。因 $2\theta +\frac{\pi }{3}$ 在第三象限，余弦为负，正确答案 $-\frac{5+6\sqrt{2}}{14}$。★答案册印刷 $\frac{-5+6\sqrt{2}}{14}$ 系符号笔误，已复算裁定。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数与和角公式

核心方法：设 θ=arctan√6，用二倍角与和角公式求值。

避坑指南：反三角+和角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角与和角。

结论推广：tanθ=√6。

方法推广：二倍角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性