1988-上海-24 解-反三角函数的和

本题导读

本题考查反三角函数的和。核心在于用韦达定理与正切和角公式。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 设方程 $x^2+3\sqrt{3}x+4=0$ 的两个实根为 $x_1,x_2$.记 $\alpha =\arctan x_1$，$\beta =\arctan x_2$.求 $\alpha +\beta$.

🔍【思路分析】

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由韦达定理求 $\tan (\alpha +\beta )$，判断 $\alpha +\beta$ 范围。

✅【答案】

Success

$-\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由韦达定理 $x_1+x_2=-3\sqrt{3}$，$x_1{x}_2=4$。$\tan \alpha =x_1$，$\tan \beta =x_2$，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{x_1+x_2}{1-x_1{x}_2}=\frac{-3\sqrt{3}}{1-4}=\sqrt{3}$。因 $x_1{x}_2>0$ 且 $x_1+x_2<0$，故 $x_1<0,x_2<0$，$\alpha ,\beta \in (-\frac{\pi }{2},0)$，$\alpha +\beta \in (-\pi ,0)$。由 $\tan (\alpha +\beta )=\sqrt{3}$ 得 $\alpha +\beta =-\frac{2\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的和

核心方法：$\arctan x_1+\arctan x_2$，韦达定理。

避坑指南：$\tan (\alpha +\beta )$ 公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数和。

结论推广：正切和角。

方法推广：韦达定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数
• 1991-上海-17 单-反三角函数的比较
• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值