1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角

本题导读

本题考查和差化积与正切倍角公式的综合运用。核心在于由两式相除求 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 已知 $\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{4}$，$\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{3}$，求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

用和差化积公式分别表示两式，相除求 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$，再用倍角公式。

✅【答案】

Success

$\frac{24}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

由和差化积公式：$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{1}{4}$，$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{1}{3}$。两式相除得 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{1/4}{1/3}=\frac{3}{4}$。于是 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差化积与正切倍角

核心方法：用和差化积求正切半角，再用倍角公式求 tan(α+β)。

避坑指南：和差化积+倍角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和差化积与倍角公式结合。

结论推广：tan2x=2tanx/(1−tan²x)。

方法推广：先求 tan(α+β)/2

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1991-三南-25 解-和差角公式求值
• 1991-上海-21 解-积化和差求值
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数