1987-广东文-10 单-三角恒等式的化简

本题导读

本题考查三角恒等式的化简。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） $\frac{(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2-(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2}{\tan \alpha -\sin \alpha \cos \alpha }=$()

A. $2{\cot }^2\alpha$　　　　　　　　　B. $2{\tan }^2\alpha$　　　　　　　　　C. $4{\cot }^2\alpha$　　　　　　　　　D. $4{\tan }^2\alpha$

🔍【思路分析】

破题导航

分子平方差 $=4\sin \alpha \cos \alpha$，分母提取 $\sin \alpha \cos \alpha$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

分子 $=(\sin \alpha +\cos \alpha +\sin \alpha -\cos \alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha -\sin \alpha +\cos \alpha )=4\sin \alpha \cos \alpha$。分母 $=\sin \alpha \cos \alpha (\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1)=\sin \alpha \cos \alpha {\tan }^2\alpha$。商 $=\frac{4}{{\tan }^2\alpha }=4{\cot }^2\alpha$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的化简

核心方法：分子用平方差展开，分母提取，化简。

避坑指南：$\frac{(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2-(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2}{\tan \alpha -\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{4\sin \alpha \cos \alpha }{\sin \alpha \cos \alpha (\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1)}=4{\cot }^2\alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等化简。

结论推广：平方差展开。

方法推广：分子分母约分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-20 解-三角恒等式的证明
• 1988-全国文-21 解-三倍角公式证明
• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角