1977-安徽文-05 解-和差化积证明

本题导读

本题考查和差化积公式的应用。核心在于分子分母分别和差化积后约去公因式。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(文)） 求证：$\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}=\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子用和差化积 $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$，分母用 $2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$，相约即得。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

左端 $=\frac{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}=$ 右端。所以恒等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差化积证明

核心方法：和差化积公式

避坑指南：分子分母同用和差化积，约去公因式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}$

方法推广：和差化积相约

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-02 单-和差化积公式
• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角