1988-全国卷理-21 解-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查三倍角公式、和差化积公式。核心在于和差化积法（推荐）、三倍角展开法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 已知 $\tan x=a$，求 $\frac{3\sin x+\sin 3x}{3\cos x+\cos 3x}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构变换： 分子和分母中都有 $3x$ 与 $x$ 的组合，可以将 $3\sin x$ 拆为 $2\sin x+\sin x$，将 $3\cos x$ 拆为 $2\cos x+\cos x$，从而构造出可以运用和差化积公式的结构。
2. 和差化积： 对 $\sin 3x+\sin x$ 和 $\cos 3x+\cos x$ 分别化积，提取公因式并消除高倍角。
3. 整体代入： 经过化简，式子会转化为关于 $\tan x$ 的一元表达式，直接将 $\tan x=a$ 代入即可。

✅【答案】

Success

$\frac{a(a^2+3)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：和差化积法（最简捷） 对原分式的分子和分母分别进行拆项变形： $\frac{3\sin x+\sin 3x}{3\cos x+\cos 3x}=\frac{2\sin x+(\sin 3x+\sin x)}{2\cos x+(\cos 3x+\cos x)}$

利用和差化积公式： $\sin 3x+\sin x=2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=2\sin 2x\cos x$ $\cos 3x+\cos x=2\cos \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\cos x$

代入原式得： $\frac{2\sin x+2\sin 2x\cos x}{2\cos x+2\cos 2x\cos x}=\frac{2\sin x+2(2\sin x\cos x)\cos x}{2\cos x+2(2{\cos }^{2}x-1)\cos x}$

分子分母分别提取公因式： $\frac{2\sin x+2\sin 2x\cos x}{2\cos x+2\cos 2x\cos x}=\frac{2\sin x(1+2{\cos }^{2}x)}{2\cos x(1+\cos 2x)}=\frac{2\sin x(1+2{\cos }^{2}x)}{4{\cos }^{3}x}$

注意分母提取出的是 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，不是 $1+2{\cos }^{2}x$——这里正是易错处。分子分母同除以 $2{\cos }^{3}x$（$\cos x\ne 0$，否则 $\tan x$ 无意义），得 $\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1+2{\cos }^{2}x}{2{\cos }^{2}x}=\tan x\cdot \frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}+2}{2}$

代入 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$，得原式 $=\frac{\tan x(3+{\tan }^{2}x)}{2}$。

已知 $\tan x=a$，所以原式 $=\frac{a(a^2+3)}{2}$，与方法二一致。

方法二：三倍角公式展开法 直接利用三倍角公式： $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$

代入原分式中： $\frac{3\sin x+(3\sin x-4{\sin }^{3}x)}{3\cos x+(4{\cos }^{3}x-3\cos x)}=\frac{6\sin x-4{\sin }^{3}x}{4{\cos }^{3}x}$

分子分母同时除以 $4{\cos }^{3}x$： $\frac{\frac{6\sin x}{4{\cos }^{3}x}-\frac{4{\sin }^{3}x}{4{\cos }^{3}x}}{1}=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}-{\tan }^{3}x$

利用同角三角函数关系 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$ 替换： $=\frac{3}{2}\tan x(1+{\tan }^{2}x)-{\tan }^{3}x$ $=\frac{3}{2}\tan x+\frac{3}{2}{\tan }^{3}x-{\tan }^{3}x$ $=\frac{3}{2}\tan x+\frac{1}{2}{\tan }^{3}x=\frac{1}{2}\tan x(3+{\tan }^{2}x)$

综合审视，方法一通过拆项和差化积直接约分最为严谨高效。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三角恒等变换中的高倍角化简，以及齐次式或可化为 $\tan x$ 的分式求值。
2. 核心方法： * 和差化积与齐次化： 面对含有 $\sin 3x$ 与 $\cos 3x$ 结构的式子，优先考虑利用和差化积或倍角公式往单角 $x$ 转化。
3. 避坑指南： * 使用三倍角展开时容易记错公式系数（如将 $\sin 3x$ 记错符号），导致后续无法因式分解。
   • 注意化简时需保证分母不为 0。本题中 $3\cos x+\cos 3x=4{\cos }^{3}x\ne 0$，隐含条件为 $\cos x\ne 0$，即 $\tan x$ 有意义，符合题设。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于典型的三角函数恒等变换技巧题，其核心源于欧拉公式下的复数幂运算或复分析中的切比雪夫多项式结构在三角学中的初等映射。
2. 结论推广： 对于任意角度 $\theta$（$\cos \theta \ne 0$），有 $\frac{3\sin \theta +\sin 3\theta }{3\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{\tan \theta ({\tan }^2\theta +3)}{2}$ 分子是 $\sin x$、$\cos x$ 的三次齐次式（$3\sin x+\sin 3x=6\sin x-4{\sin }^{3}x$，其中 $\sin x$ 可补成 $\sin x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$），分母 $4{\cos }^{3}x$ 也是三次齐次，故整体为零次齐次，只依赖 $\tan \theta$ 一个量。取 $\theta =45^{\circ }$ 检验：左边 $=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$，右边 $=\frac{1\cdot (1+3)}{2}=2$，而 $\tan 45^{\circ }=1$——可见结果并不等于 $\tan \theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角
• 1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值
• 1991-三南-25 解-和差角公式求值