1991-三南-25 解-和差角公式求值

本题导读

本题考查两角和与差的正切公式，以及同角三角函数关系的综合运用。核心在于由差角正切公式反解未知角的正切。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 已知 $\alpha$、$\beta$ 为锐角，$\cos \alpha =\frac{4}{5}$，$\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$，求 $\cos \beta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

先由 $\cos \alpha$ 求 $\tan \alpha$，再用差角正切公式解出 $\tan \beta$，最后求 $\cos \beta$。

✅【答案】

Success

$\cos \beta =\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha$ 为锐角且 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$，得 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，故 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$。设 $\tan \beta =t>0$，由 $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{3}{4}-t}{1+\frac{3}{4}t}=\frac{1}{3}$，即 $9-12t=4+3t$，得 $t=\frac{1}{3}$。因 $\beta$ 为锐角，$\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\beta }}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差角公式求值

核心方法：由 cosα=4/5 得 tanα=3/4，tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)=1/3，解得 tanβ=1/3，cosβ=3√10/10。

避坑指南：和差角正切公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：已知 tan(α−β) 用差角正切公式解 tanβ。

结论推广：由 tanβ 求 cosβ 用同角关系。

方法推广：锐角条件保证符号取正。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值
• 1994-上海-21 解-正切的差角与倍角求值
• 1996-全国卷文-18 填-正切和角公式的求值