1989-广东理-21 单-半角的象限判断

本题导读

本题考查半角的象限判断，结合三角恒等式确定。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果 $\theta$ 是第三象限的角，且满足 $\sqrt{1+\sin \theta }=\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}$，那么 $\frac{\theta }{2}$ 是()

A. 第四象限的角　　B. 第三象限的角　　C. 第二象限的角　　D. 第一象限的角

🔍【思路分析】

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由 $1+\sin \theta ={\left(\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\right)}^2$ 判断 $\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}$ 的符号。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\theta$ 在第三象限，则 $\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$，$\frac{\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{3\pi }{4}$，故 $\frac{\theta }{2}$ 在第二象限。又 $\sqrt{1+\sin \theta }=|\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}|$，右端取正，且 $\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}>0$（第二象限时 $\cos \frac{\theta }{2}<0,\sin \frac{\theta }{2}>0$ 但 $\sin \frac{\theta }{2}>|\cos \frac{\theta }{2}|$，因 $\frac{\theta }{2}<\frac{3\pi }{4}$），满足条件。故 $\frac{\theta }{2}$ 是第二象限角，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角的象限判断

核心方法：由 $\sqrt{1+\sin \theta }=\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}$ 判断。

避坑指南：$1+\sin \theta =(\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}{)}^2$，须 $\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\ge 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角象限判断。

结论推广：$\frac{\theta }{2}$ 象限由 $\theta$ 确定。

方法推广：注意符号条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-26 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值