1988-广东文-06 单-同角三角函数的化简

本题导读

本题考查第二象限角的三轮换化简，注意开方取绝对值。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 当 $\alpha$ 是第二象限的角时，$\frac{2\tan \alpha }{\sqrt{{\sec }^2\alpha -1}}-\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}{\sec \alpha }=$()

A. $3$　　　　　　　　　B. $1$　　　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

$\sqrt{{\sec }^2\alpha -1}=|\tan \alpha |=-\tan \alpha$，$\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }=|\sec \alpha |=-\sec \alpha$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\alpha$ 第二象限，$\tan \alpha <0$，$\sec \alpha <0$。故 $\sqrt{{\sec }^2\alpha -1}=|\tan \alpha |=-\tan \alpha$，$\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }=|\sec \alpha |=-\sec \alpha$。原式 $=\frac{2\tan \alpha }{-\tan \alpha }-\frac{-\sec \alpha }{\sec \alpha }=-2+1=-1$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的化简

核心方法：$\frac{2\tan \alpha }{\sqrt{{\sec }^2\alpha -1}}-\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}{\sec \alpha }$，第二象限 $\tan \alpha <0$，$\sec \alpha <0$，化简得 $-1$。

避坑指南：$\sqrt{{\sec }^2\alpha -1}=|\tan \alpha |=-\tan \alpha$，$\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}{\sec \alpha }=\frac{|\sec \alpha |}{\sec \alpha }=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角化简。

结论推广：符号判断。

方法推广：第二象限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-06 单-同角三角函数的求值
• 1990-全国文-02 单-三角函数的平方和求值
• 1989-广东理-21 单-半角的象限判断