1989-全国文-06 单-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值，以及由角所在区间确定符号。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 如果 $|\cos \theta |=\frac{1}{5}$，$\frac{5\pi }{2}<\theta <3\pi$，那么 $\sin \frac{\theta }{2}$ 的值等于()

A. $-\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

由 θ 范围确定 cosθ 符号与 sin(θ/2) 符号，用半角公式求值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因 $\frac{5\pi }{2}<\theta <3\pi$，故 $\frac{\pi }{2}<\theta -2\pi <\pi$，得 $\cos \theta <0$，结合 $|\cos \theta |=\frac{1}{5}$ 得 $\cos \theta =-\frac{1}{5}$。又 $\frac{5\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<\frac{3\pi }{2}$，故 $\sin \frac{\theta }{2}<0$。${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1+1/5}{2}=\frac{3}{5}$，故 $\sin \frac{\theta }{2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：由 θ 范围确定 cosθ 符号，用半角公式求值。

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式符号由象限确定。

结论推广：sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2。

方法推广：先定象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1991-上海-02 填-半角公式与象限符号