1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号

本题导读

本题考查半角三角函数的符号，以及由角所在象限判断半角的范围。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 设 $\theta$ 是第二象限的角，则必有 ()

A.$\tan \frac{\theta }{2}>\cot \frac{\theta }{2}$　　B.$\tan \frac{\theta }{2}<\cot \frac{\theta }{2}$ C.$\sin \frac{\theta }{2}>\cos \frac{\theta }{2}$　　D.$\sin \frac{\theta }{2}<\cos \frac{\theta }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\theta$ 第二象限定 $\frac{\theta }{2}$ 的范围。
2. 判断 $\frac{\theta }{2}$ 各三角函数的大小关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\theta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，故 $\frac{\theta }{2}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，是第一象限角。此时 $\tan \frac{\theta }{2}>\tan \frac{\pi }{4}=1$，而 $\cot \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\tan \frac{\theta }{2}}<1$，故 $\tan \frac{\theta }{2}>\cot \frac{\theta }{2}$，A 正确。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角三角函数的符号

核心方法：$\theta$ 第二象限，$\frac{\theta }{2}$ 在第一象限，故 $\tan \frac{\theta }{2}<\cot \frac{\theta }{2}$ 成立，选 B

避坑指南：半角所在象限判符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材同角三角函数

结论推广：一般地，由角所在象限判断半角符号

方法推广：半角所在象限判符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间