1991-全国卷理-01 单-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各象限的符号规律。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 已知 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，并且 $\alpha$ 是第二象限的角，那么 $\tan \alpha$ 的值等于 ()

A. $-\frac{4}{3}$　　　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定余弦值：利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，结合 $\alpha$ 为第二象限角（$\cos \alpha <0$），确定 $\cos \alpha$ 的值。
2. 求正切值：利用商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 计算最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，且 $\alpha$ 是第二象限的角（此时 $\cos \alpha <0$）， 所以： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\frac{3}{5}$

根据商数关系，可得： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数的平方关系与商数关系。
2. 核心方法：公式法。利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 进行恒等变形。
3. 避坑指南：在开方求 $\cos \alpha$ 时，应根据角 $\alpha$ 所在的象限严格判定正负号。若忽略“第二象限”这一条件，易错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考传统的基础性质得分题，直接源于高中数学必修教材中“同角三角函数基本关系”一节的课后练习题。
2. 结论推广：已知 $\sin \alpha =m$ ($0<|m|<1$)，若 $\alpha$ 为第二象限角，则 $\cos \alpha =-\sqrt{1-m^2}$，$\tan \alpha =-\frac{m}{\sqrt{1-m^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-20 填-同角三角函数的求值
• 1994-全国卷文-18 填-同角三角函数求值
• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号