1992-全国卷理-20 填-二倍角公式求值

本题导读

本题考查诱导公式（互余角度转换），以及三角函数的二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） $\sin 15^{\circ }\sin 75^{\circ }$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用诱导公式：注意到 $15^{\circ }+75^{\circ }=90^{\circ }$。利用诱导公式 $\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$，将 $\sin 75^{\circ }$ 转化为 $\cos 15^{\circ }$。
2. 逆用二倍角公式：将原式化为 $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$。利用正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，将其整体构造并化简为 $\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }$。
3. 代入特殊角求值：代入 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 算出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 利用三角函数的诱导公式，将 $\sin 75^{\circ }$ 进行转化： $\sin 75^{\circ }=\sin (90^{\circ }-15^{\circ })=\cos 15^{\circ }$

将转化后的结果代回原式中： $\sin 15^{\circ }\sin 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$

分子分母同时乘以 2，构造正弦二倍角公式的标准结构： $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}{2}=\frac{1}{2}\sin (2\times 15^{\circ })=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }$

熟记特殊角的三角函数值，将 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 代入： $\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互余角度的诱导公式转化，正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 的逆向整合。
2. 核心方法：
   • 名称化同法：处理和为 $90^{\circ }$ 的角时，第一步通常是“弦名互换”。
   • 积化和差法（备用）：本题也可以直接套用积化和差公式 $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$。 代入可得： $-\frac{1}{2}[\cos 90^{\circ }-\cos (-60^{\circ })]=-\frac{1}{2}\left[0-\frac{1}{2}\right]=\frac{1}{4}$。
3. 避坑指南：切忌盲目使用两角和与差公式去分别展开计算 $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 和 $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 然后强行相乘。虽然平方差公式最终也能算对，但运算极其繁琐，在填空题中非常浪费时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角恒等变换中最基础的计算填空题。直接取材于高一三角函数教材中“二倍角公式的简单应用”一节的课后典型口算练习题。
2. 结论推广：对于所有满足 $\alpha +\beta =90^{\circ }$ 的互余角，其正弦乘积具有通用不变量恒等式： $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\sin 2\alpha =\frac{1}{2}\sin 2\beta$ 本题直接代入该推广模型，即为 $\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1994-上海-02 填-半角三角函数的求值

• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号

• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值