1990-上海卷-15 单-半角的象限判断

本题导读

本题考查三角函数的性质（象限角及其范围），以及半角范围的推导与转化。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设 $\alpha$ 角属于第二象限，且 $\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|=-\cos \frac{\alpha }{2}$，则 $\frac{\alpha }{2}$ 角属于 ()

A. 第一象限　　　　　B. 第二象限　　　　　C. 第三象限　　　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $\alpha$ 的基本范围：由于 $\alpha$ 属于第二象限，写出其通用集合表达式： $2k\pi +\frac{\pi }{2}<\alpha <2k\pi +\pi$ （$k\in \mathbf{Z}$）。
2. 推导半角 $\frac{\alpha }{2}$ 的潜在区域：将上述不等式整体除以 2，分析随着 $k$ 的奇偶性变化， $\frac{\alpha }{2}$ 最终会落在哪两个对称的象限内。
3. 引入绝对值限制条件条件消元：根据 $\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|=-\cos \frac{\alpha }{2}$，由绝对值“去条变成负”的代数特征可知，$\cos \frac{\alpha }{2}\le 0$。结合第2步求出的象限候选集，剔除使余弦值为正的象限。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 角属于第二象限，根据轴向角的范围定义，有： $2k\pi +\frac{\pi }{2}<\alpha <2k\pi +\pi (k\in \mathbf{Z})$

两边同时除以 2，得到半角 $\frac{\alpha }{2}$ 的取值范围为： $k\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

下面对整数 $k$ 的奇偶性进行分情况讨论，以确定其在圆周坐标系中的具体投影：

• 当 $k$ 为偶数时（设 $k=2m,m\in \mathbf{Z}$），有： $2m\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<2m\pi +\frac{\pi }{2}$ 此时，$\frac{\alpha }{2}$ 属于第一象限。在第一象限中，余弦值 $\cos \frac{\alpha }{2}>0$。
• 当 $k$ 为奇数时（设 $k=2m+1,m\in \mathbf{Z}$），有： $(2m+1)\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<(2m+1)\pi +\frac{\pi }{2}⟹2m\pi +\frac{5\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<2m\pi +\frac{3\pi }{2}$ 此时，$\frac{\alpha }{2}$ 属于第三象限。在第三象限中，余弦值 $\cos \frac{\alpha }{2}<0$。

又因为题目中给出限制条件： $\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|=-\cos \frac{\alpha }{2}$ 根据绝对值的性质 $|x|=-x⟺x\le 0$，所以必须满足： $\cos \frac{\alpha }{2}\le 0$

结合前面对象限范围的分析：

• 第一象限内 $\cos \frac{\alpha }{2}>0$，不合题意（舍去）；
• 第三象限内 $\cos \frac{\alpha }{2}<0$，完全符合 $\cos \frac{\alpha }{2}\le 0$ 的要求。

因此，$\frac{\alpha }{2}$ 角必然属于第三象限。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：终边相同角的集合表示法，半角法在直角坐标系中的“分裂”特性，三角函数线在各象限的符号分布。
2. 核心方法：
   • 集合式不等式化简法：处理“已知 $\alpha$ 象限求 $\frac{\alpha }{n}$ 象限”的问题，引入通项 $2k\pi$ 是绝对的核心通法，严禁直接只看 $[0,2\pi ]$ 的局部区间。
   • 几何十字划区法法）：在草稿纸上，将每个象限均分成 2 等份。由于 $\alpha$ 在第二象限，将其在第2象限内的对应弧段平分，直接顺时针旋转，可以一眼看出其对应半角落在第一象限和第三象限。再结合余弦为负数，直接第三象限。
3. 避坑指南：
   • 片面静态看角导致错解：部分学生只记得 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，除以 2 得到 $\frac{\alpha }{2}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，就判定其在第一象限，从而错选 (A)。忽略了终边相同角具有无限周期绕行 $2k\pi$ 的本征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数大类中考查象限角与符号特征的经典填空选择题，直接源自教材中“任意角”以及“同角三角函数”章节的课后思考题。
2. 结论推广：对于任意角 $\alpha$，若已知其属于第 $N$ 象限，则其半角 $\frac{\alpha }{2}$ 的终边可能存在的象限具有如下、沿原点对称的二分分布律：
   • $\alpha$ 在第一象限 $⟹\frac{\alpha }{2}$ 在第一、三象限；
   • $\alpha$ 在第二象限 $⟹\frac{\alpha }{2}$ 在第一、三象限（本题模型）；
   • $\alpha$ 在第三象限 $⟹\frac{\alpha }{2}$ 在第二、四象限；
   • $\alpha$ 在第四象限 $⟹\frac{\alpha }{2}$ 在第二、四象限。 更普遍地，求 $\frac{\alpha }{n}$ 的潜在分布时，只需将原象限网格在每个象限内部各均分成 $n$ 份，按周期填色，即可将此类“象限划分问题”彻底推广至任意阶数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1991-上海-02 填-半角公式与象限符号
• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号