1987-广东理-08 单-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 若 $\cot \frac{\theta }{2}=3$，则 $\cos \theta$ 的值是()

A. $\frac{3}{5}$　　　　　　　　B. $-\frac{3}{5}$　　　　　　　　C. $-\frac{4}{5}$　　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{3}$，用 $\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\cot \frac{\theta }{2}=3\Rightarrow \tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{3}$，$\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{4}{5}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：$\cot \frac{\theta }{2}=3$，用万能公式 $\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$。

避坑指南：$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{3}$，$\cos \theta =\frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{4}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式。

结论推广：$\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$。

方法推广：万能公式求值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-18 填-半角公式求值
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1988-上海-16 单-半角公式求值