1985-广东理-19 单-半角公式求正切

本题导读

本题考查半角公式与象限符号的判定。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 已知 $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$，且 $\sin (270^{\circ }+\alpha )=\frac{4}{5}$，则 $\tan \frac{\alpha }{2}=$ ()

A. $3$　　　　　　B. $2$　　　　　　C. $-2$　　　　　　D. $-3$　　　　　　E. $-\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

先由 $\sin (270^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha =\frac{4}{5}$ 得 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，再用半角公式。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\sin (270^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha =\frac{4}{5}$，故 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。又 $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$，故 $90^{\circ }<\frac{\alpha }{2}<135^{\circ }$，$\tan \frac{\alpha }{2}<0$。$\tan \frac{\alpha }{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=-\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}}=-\sqrt{\frac{9/5}{1/5}}=-\sqrt{9}=-3$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求正切

核心方法：先定 $\cos \alpha$ 再套半角公式

避坑指南：第三象限 $\tan \frac{\alpha }{2}<0$，取负值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式的符号确定

结论推广：由 $\alpha$ 所在象限确定 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 的符号

方法推广：半角公式的符号判定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-05 单-半角公式求正弦
• 1987-广东理-08 单-半角公式求值