1992-上海-03 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及正弦余弦平方和与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 函数 $y={\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$y=1-\frac{1}{2}\sin 2x$，最大值为 $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-\sin x\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$。因 $-1\le \sin 2x\le 1$，故 $y_{\max }=1-\frac{1}{2}\cdot (-1)=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$y={\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$，最大 $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

避坑指南：降幂配平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦余弦平方和与二倍角

结论推广：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 化简

方法推广：降幂配平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1995-全国卷文-18 填-三角函数的和角化简与最值
• 1994-上海-09 填-三角函数的最值