1994-上海-09 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及辅助角公式的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 函数 $y=\sin 2x-2{\cos }^{2}x$ 的最大值是 $\underline{}$..

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把 $2{\cos }^{2}x$ 化为含 $\cos 2x$ 的式子。
2. 用辅助角公式求最值。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}-1$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin 2x-2{\cos }^{2}x=\sin 2x-(1+\cos 2x)=\sin 2x-\cos 2x-1=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$。当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时，$y$ 取最大值 $\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$y=\sin 2x-2{\cos }^{2}x=\sin 2x-\cos 2x-1=\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})-1$，最大值 $\sqrt{2}-1$

避坑指南：辅助角公式求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的最值

结论推广：一般地，辅助角公式求最值

方法推广：辅助角公式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-18 填-三角函数的和角化简与最值
• 1995-上海理-17 填-三角函数的最值与递增区间
• 1994-全国卷文-14 单-三角函数图象的对称性