1995-上海理-17 填-三角函数的最值与递增区间

本题导读

本题考查三角函数的递增区间，以及辅助角公式与相位范围的确定。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 函数 $y=\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}$ 在 $(-2\pi ,2\pi )$ 内的递增区间是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用辅助角公式合并。
2. 由相位范围求递增区间，并取 $(-2\pi ,2\pi )$ 内的部分。

✅【答案】

Success

$\left[-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}=\sqrt{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$。令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $-\frac{3\pi }{2}+4k\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+4k\pi$。在 $(-2\pi ,2\pi )$ 内，取 $k=0$ 得 $\left[-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值与递增区间

核心方法：$y=\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}=\sqrt{2}\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})$，递增区间满足 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$，在 $(-2\pi ,2\pi )$ 内得 $[-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

避坑指南：辅助角公式求增区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数图象

结论推广：一般地，辅助角公式后由相位求增区间

方法推广：辅助角公式求增区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-02 单-正弦函数的单调区间
• 1999-上海理-07 填-三角函数的单调递减区间
• 1997-上海理-12 填-三角函数的最值