1990-全国卷理-19 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的性质（最值），以及三角换元法与整体思想。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 函数 $y=\sin x\cos x+\sin x+\cos x$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别核心结构：观察发现解析式中同时包含“和项”（$\sin x+\cos x$）与“积项”（$\sin x\cos x$）。这是典型的对称三角式结构。
2. 引入换元参数：引入新变量 $t=\sin x+\cos x$．利用辅助角公式确定 $t$ 的取值范围（定义域约束）。
3. 转化表示积项：将 $t=\sin x+\cos x$ 两边平方，导出 $\sin x\cos x$ 关于 $t$ 的代数表达式。
4. 求解二次函数：将原解析式彻底化为关于 $t$ 的二次函数，利用配方法在 $t$ 的限制范围内求出最大值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $t=\sin x+\cos x$． 根据辅助角公式，可化为： $t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 因为 $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$，所以新变量 $t$ 的取值范围为： $t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

将 $t=\sin x+\cos x$ 两边平方，得： $t^2=(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$ 因为 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，所以： $t^2=1+2\sin x\cos x⟹\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

将 $t$ 和 $\sin x\cos x$ 的表达式代入原函数解析式中，得到一个关于 $t$ 的二次函数： $y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}{t}^2+t-\frac{1}{2}$

对该二次函数进行配方： $y=\frac{1}{2}(t^2+2t)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-1$

这是一个开口向上、对称轴为 $t=-1$ 的抛物线。 考虑定义域限制 $t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$： 由于对称轴 $t=-1$ 属于该区间，且二次函数开口向上，故函数在远离对称轴的端点处取得最大值。 比较两端点到对称轴的距离： $|\sqrt{2}-(-1)|=\sqrt{2}+1$ $|-\sqrt{2}-(-1)|=\sqrt{2}-1$ 当 $t=\sqrt{2}$ 时，函数取得最大值。

将 $t=\sqrt{2}$ 代入二次函数解析式中计算： $y_{\text{max}}=\frac{1}{2}(\sqrt{2}{)}^2+\sqrt{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2+\sqrt{2}-\frac{1}{2}=1+\sqrt{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

填空答案为：$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ （或 $\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的换元性质，二倍角公式与同角三角函数基本关系式的变形，闭区间上一元二次函数的最值。
2. 核心方法：整体换元法。处理包含 $\sin x\pm \cos x$ 与 $\sin x\cos x$ 的混合式，统一将“和/差”设为未知数 $t$，进而利用平方关系“消元”，是解决此类非线性三角最值题的根本通法。
3. 避坑指南：
   • 容易忽略换元后的定义域：在引入 $t=\sin x+\cos x$ 后，必须立刻通过辅助角公式锁定 $t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$．如果不注意这个范围限制，误认为二次函数无上限，或者在顶点处找错趋势，将导致无法求出正确答案。
   • 最值点判定思维定势：由于习惯了二次函数在顶点或对称轴处考虑最值，本题开口向上求最大值，不宜习惯性把顶点值 $-1$ 当作答案。必须在边界端点处取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的换元型三角最值问题，源自教材中对“同角三角函数基本关系”及“二次函数最值”跨章节复合应用的考查。通过代数结构的对称性实现维度的转化。
2. 结论推广：对于更一般的函数模型 $y=a(\sin x+\cos x)+b\sin x\cos x+c$：
   • 同样设 $t=\sin x+\cos x$（$t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$），方程等价转化为二次函数 $y=\frac{b}{2}{t}^2+at+\left(c-\frac{b}{2}\right)$。
   • 若将条件中的“加号”改为“减号”，即 $y=\sin x-\cos x+\sin x\cos x$，则只需相应地设 $t=\sin x-\cos x$（同样 $t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$），利用 $t^2=1-2\sin x\cos x$ 移项代入，即可用完全相同的数学模型求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-21 解-三角函数的化简与最值
• 1991-全国文-21 解-三角函数的最值
• 1992-上海-03 填-三角函数的最值