2000-大纲理-17 解-三角函数最值与图象变换

本题导读

本题考查两角和与差的三角函数，以及函数图象的平移伸缩。核心在于化为正弦型函数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 已知函数 $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x(x\in \mathbf{R})$.

(1) 当函数 $y$ 取得最大值时，求自变量 $x$ 的集合.

(2) 该函数的图象可由 $y=\sin x(x\in \mathbf{R})$ 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 辅助角公式化 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$；最值条件解出 $x$ 的集合；变换按”先伸缩后平移”。

✅【答案】

Success

(1) $\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbf{Z}\right\}$

(2) 先将纵坐标伸长为原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 利用两角和公式，$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$. 由于正弦函数的最大值为 $1$，所以函数 $y$ 的最大值为 $2$. 当且仅当 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 时取到最大值，故自变量 $x$ 的集合为 $\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbf{Z}\right\}$.

(2) 先将 $y=\sin x$ 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 $2$ 倍，得到 $y=2\sin x$ 的图象；再将所得图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$，得到 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$. 因此，所求图象可由 $y=\sin x$ 的图象先作纵向伸长，再向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 得到.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式与图象变换

核心方法：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

避坑指南：“先伸缩后平移”时平移量是 $\frac{\pi }{6}$（对 $x$ 而言），若”先平移后伸缩”则平移量不同，注意题问顺序

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角恒等变换与图象变换的综合题，是三角板块的主干题型.

2. 结论推广：$y=a\sin x+b\cos x$ 化为 $A\sin (x+\phi )$ 后，最值、周期、变换问题一并解决.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标理-01 单-正弦型函数的周期与振幅
• 1991-全国文-21 解-三角函数的最值
• 1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值