2000-大纲文-17 解-三角最值与图象变换

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角函数的图象变换。核心在于用辅助角公式求最值，再说明平移伸缩变换。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 已知函数 $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$（$x\in \mathbf{R}$）．

(1) 当函数 $y$ 取得最大值时，求自变量 $x$ 的集合；

(2) 该函数的图象可由 $y=\sin x$（$x\in \mathbf{R}$）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用辅助角公式化为 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 最大值 $2$ 时 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$。
3. 说明先平移后伸缩。

✅【答案】

Success

(1) $\left\{x\mid x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$；(2) 先向左平移 $\frac{\pi }{6}$，再把纵坐标伸长为原来的 $2$ 倍

✍【详细解析】

Abstract

(1) $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$．当 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时，函数取得最大值 $2$，此时 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $x=2k\pi +\frac{\pi }{3}$．故自变量 $x$ 的集合为 $\left\{x\mid x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$． (2) 先将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象；再把所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的 $2$ 倍（横坐标不变），即得 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ 的图象．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角最值与图象变换

核心方法：$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$，最大值 $2$ 在 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{2}$ 即 $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ 处；图象由 $y=\sin x$ 先左移 $\frac{\pi }{6}$ 再纵伸长 $2$ 倍

避坑指南：辅助角公式 + 平移伸缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材辅助角公式

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广：辅助角公式 + 平移伸缩

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-01 单-辅助角公式求最小正周期
• 2008-大纲Ⅱ文-10 单-辅助角公式最值

专题合集 (Series)