1997-全国卷理-10 单-余弦的二次函数最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及二次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 函数 $y={\cos }^{2}x-3\cos x+2$ 的最小值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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变量替换（换元法）：引入中间变量 $t=\cos x$，将原函数化为关于 $t$ 的一元二次函数。 确定新自变量的取值范围：根据余弦函数的有界性，明确限定 $t\in [-1,1]$。 配方求区间最值：对二次函数 $y=t^2-3t+2$ 进行配方，确定对称轴。判断对称轴与定义区间 $[-1,1]$ 的相对位置关系，利用单调性求出区间内的最小值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

换元并确定定义域 设 $t=\cos x$。 根据余弦函数的有界性，对于任意实数 $x$，恒有： $-1\le t\le 1$

将 $t=\cos x$ 代入原函数中，化为关于 $t$ 的二次函数： $y=t^2-3t+2(t\in [-1,1])$

配方并分析对称轴 对二次函数配方： $y={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}+2$ $y={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$

由此可知，该抛物线开口向上，其顶点对应的对称轴为： $t=\frac{3}{2}=1.5$

结合区间判定单调性并求最小值 顶点的横坐标 $t=1.5$ 不在定义区间 $[-1,1]$ 内（位于区间的右侧）。

因为当 $t\le \frac{3}{2}$ 时，二次函数 $y={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ 单调递减。 所以，当 $t$ 在定义区间 $[-1,1]$ 内移动时，函数值随着 $t$ 的增大而不断减小。 因此，函数的最小值在区间的右端点（即 $t$ 取到最大值处）取得。

将 $t=1$ 代入二次函数解析式中： $y_{\min }=1^2-3\times 1+2=1-3+2=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的有界性（$-1\le \cos x\le 1$）；二次函数在闭区间上的单调性与最值。 核心方法：“换元化归法”。 避坑指南：

• 顶点盲目代入陷阱：本题极易错选 C。许多学生看到二次函数就直接套用顶点坐标公式，算出 $y=-\frac{1}{4}$。然而本题中对称轴 $1.5$ 超出了余弦值的最大范围，函数在实数范围内取不到该顶点。求闭区间二次函数最值时，必须先比较对称轴与区间的位置关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于二次型三角函数的经典基础题，取材于高中代数教材中“二次函数在闭区间上的最值”与“同角三角函数基本关系式”的综合训练。 结论推广：对于二次型三角函数 $y={\cos }^{2}x-2k\cos x+C$：

• 若对称轴 $k>1$，则函数的最小值在右端点 $\cos x=1$ 处取得，即 $y_{\min }=1-2k+C$；
• 若对称轴 $-1\le k\le 1$，则函数的最小值在顶点处取得，即 $y_{\min }=C-k^2$。 处理含参三角函数最值问题时，应先比较对称轴与区间 $[-1,1]$ 的位置关系再分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 1998-上海理-08 填-分段函数的最值
• 2000-大纲文-17 解-三角最值与图象变换