1994-全国卷理-05 单-指数增长与细菌分裂计数

本题导读

本题考查等比数列的实际应用，以及分裂模型的指数增长。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成 ()

A. 511 个　　　B. 512 个　　　　C. 1023 个　　　　D. 1024 个

🔍【思路分析】

破题导航

计算分裂次数：先将总时间“3 小时”转化为分钟，再除以单次分裂周期“20 分钟”，得到总的分裂次数 $n$。 建立数量关系：初始为 $1$ 个。分裂 $1$ 次变为 $2^1$ 个，分裂 $2$ 次变为 $2^2$ 个……以此类推，分裂 $n$ 次后细菌总数变为 $2^n$ 个。 幂指数计算：计算 $2^n$ 的具体数值，对照选项得出答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 1 小时 = 60 分钟，所以 3 小时共有： $3\times 60=180\text{ 分钟}$

由于细菌每 20 分钟分裂一次，所以在 180 分钟内，细菌总共分裂的次数为： $n=\frac{180}{20}=9\text{ 次}$

设初始细菌个数为 $a_0=1$。

• 分裂 1 次后，细菌数变为 $a_1=1\times 2=2^1$ 个；
• 分裂 2 次后，细菌数变为 $a_2=2\times 2=2^2=4$ 个；
• 依次类推，分裂 9 次后，细菌数变为 $a_9=2^9$ 个。

根据常用 2 的幂次计算： $2^9=512$

因此，经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成 512 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题考查的是以 $2$ 为公比的等比数列模型（或称指数爆炸模型）。 核心方法：理清“初始状态”、“分裂次数 $n$”与“最终状态”的一一对应关系，直接套用 $N=N_0\cdot 2^n$。 避坑指南：

• 极易混淆“总量”与“求和”。部分学生看到分裂问题会盲目联想到等比数列求和公式 $S_n$，误选 A 或 C。需要明确，一个细菌分裂成两个，原细菌已经不存在（变成了两个新细菌），因此求的是第 $n$ 次分裂后的生存总量，而非历次分裂产生的新个体累加。
• 2 的常用幂次（如 $2^9=512$，$2^{10}=1024$）属于常识，需熟练记忆以保证运算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题来源于高中代数课本中关于“等比数列应用题”或“指数函数增长模型”的例题。这类“细胞分裂”、“原子核裂变”是展现指数级增长最经典的物理与生物学背景。 结论推广：若初始有 $M$ 个细菌，每隔 $t_0$ 时间分裂一次（一个分裂为 $k$ 个），则经过时间 $t$ 后的细菌总数 $N$ 的数学模型为： $N=M\cdot k^{\frac{t}{t_0}}$ 本题即 $M=1,k=2,t=180,t_0=20$ 的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1995-全国卷文-25 解-市场平衡价格的实际应用（函数建模）
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值