1995-全国卷文-25 解-市场平衡价格的实际应用（函数建模）

本题导读

本题考查函数模型的实际应用。核心在于令 $P=Q$ 平方去根号求出平衡价格函数并确定定义域。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为 $x$ 元/千克，政府补贴为 $t$ 元/千克.根据市场调查，当 $8⩽x⩽14$ 时，淡水鱼的市场日供应量 $P$ 千克与市场日需求量 $Q$ 千克近似满足关系：$P=1000(x+t-8)$（$x⩾8$，$t⩾0$），$Q=500\sqrt{40-(x-8{)}^2}$（$8⩽x⩽14$）.当 $P=Q$ 时市场价格称为市场平衡价格.

(1) 将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

(2) 为使市场平衡价格不高于每千克 $10$ 元，政府补贴至少为每千克多少元？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $P=Q$，设 $u=x-8$，平方去根号得关于 $u$ 的一元二次方程，取正根得 $u(t)$。
2. 定义域由根式有意义与 $u⩾0$ 联立。
3. 第(2)问说明 $x(t)$ 递减，代入 $x=10$ 求临界 $t$。

✅【答案】

Success

(1) $x(t)=8-\frac{4}{5}t+\frac{2}{5}\sqrt{50-t^2}$，定义域为 $[0,\sqrt{10}]$

(2) 政府补贴至少为每千克 $1$ 元

✍【详细解析】

Abstract

(1) 市场平衡时 $P=Q$，即 $1000(x+t-8)=500\sqrt{40-(x-8{)}^2}$，化简为 $2(x+t-8)=\sqrt{40-(x-8{)}^2}$。设 $u=x-8$，则 $0⩽u⩽6$，且 $2(u+t)=\sqrt{40-u^2}$。两边非负，平方得 $4(u+t{)}^2=40-u^2$，整理为 $5u^2+8tu+4t^2-40=0$，解得 $u=\frac{-4t\pm 2\sqrt{50-t^2}}{5}$。由 $u⩾0$，$t⩾0$，只能取正号：$x(t)=8-\frac{4}{5}t+\frac{2}{5}\sqrt{50-t^2}$。要使根式有意义需 $t^2⩽50$；要使正号所得 $u⩾0$，需 $\frac{2}{5}\sqrt{50-t^2}⩾\frac{4}{5}t$，即 $50-t^2⩾4t^2$，$t^2⩽10$。故函数的定义域为 $[0,\sqrt{10}]$。 (2) 在 $[0,\sqrt{10}]$ 上，$t$ 增大时 $-\frac{4}{5}t$ 减小、$\sqrt{50-t^2}$ 减小，故 $x(t)$ 随 $t$ 增大而减小。令 $x=10$，即 $u=2$：代入 $2(u+t)=\sqrt{40-u^2}$ 得 $2(2+t)=\sqrt{36}=6$，$t=1$。由平衡价格随补贴增加而降低，要使市场平衡价格不高于每千克 $10$ 元，政府补贴至少为每千克 $1$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：市场平衡价格的实际应用（函数建模）

核心方法：设 $u=x-8$ 平方化二次方程取正根：$x=8-\frac{4}{5}t+\frac{2}{5}\sqrt{50-t^2}$，定义域 $[0,\sqrt{10}]$；$x(t)$ 递减，$x=10$ 时 $t=1$

避坑指南：平方去根号求反函数再定单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的实际应用

结论推广：一般地，供需平衡问题令 $P=Q$，平方去根号后按定义域取舍根号前符号

方法推广：建模后平方去根号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值
• 1997-上海文-18 解-抛物线的实际应用