1994-全国卷理-20 填-最佳近似值（平方和最小）

本题导读

本题考查最小二乘法原理，以及二次函数的图象与性质（最值问题）。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 $n$ 次测量分别得到 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，共 $n$ 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” $a$ 是这样一个量：与其他近似值比较，$a$ 与各数据的差的平方和最小.依此规定，从 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 推出的 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

构建函数模型：根据题意，“$a$ 与各数据的差的平方和最小”，我们可以将这个“差的平方和”表示为关于 $a$ 的函数 $y$： $y=(a-a_1{)}^2+(a-a_2{)}^2+\cdots +(a-a_n{)}^2$ 展开并整理：将各项完全平方公式展开，合并同类项，将其整理为关于 $a$ 的一元二次函数的标准形式 $y=A{a}^2+Ba+C$。 求最值点：利用二次函数的顶点公式 $a=-\frac{B}{2A}$ 或配方法，求出当 $y$ 取得最小值时对应的自变量 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$（或 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i$）

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，设 $a$ 与各数据 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 差的平方和为 $y$，则： $y=(a-a_1{)}^2+(a-a_2{)}^2+\cdots +(a-a_n{)}^2$

将上式右边展开： $y=(a^2-2a_{1}a+a_1^2)+(a^2-2a_{2}a+a_2^2)+\cdots +(a^2-2a_{n}a+a_n^2)$

将含有 $a^2$ 的项、含有 $a$ 的项以及常数项分别合并同类项，可得： $y=n\cdot a^2-2(a_1+a_2+\cdots +a_n)a+(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)$

这是一个关于 $a$ 的一元二次函数，其中二次项系数 $A=n>0$，一次项系数 $B=-2(a_1+a_2+\cdots +a_n)$。 因为 $A>0$，所以该二次函数图象开口向上，在其顶点处取得最小值。 根据二次函数顶点对称轴公式，当 $a$ 取下值时， $y$ 取得最小值： $a=-\frac{B}{2A}=-\frac{-2(a_1+a_2+\cdots +a_n)}{2n}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$

由此可知，“最佳近似值” $a$ 恰好为这 $n$ 个测量数据的算术平均数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题考查二次函数 $y=A{x}^2+Ba+C$ 当 $A>0$ 时，在 $x=-\frac{B}{2A}$ 处取得最小值的性质。 核心方法：建模法与多项式合并。能够将长代数式中的同类项（如 $n$ 个 $a^2$ 累加为 $n{a}^2$）准确提取并归纳出来是解题的基本功。 避坑指南：容易被题目长段的物理背景和一堆下标 $\cdots ,a_n$ 吓倒，产生畏难情绪。需要明确，在整个化简和求导/配方过程中， $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 均属于已知常数，只有 $a$ 才是唯一的自变量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于数理统计学中大名鼎鼎的最小二乘法（Least Squares Method）。在实际物理实验中，通过多次测量取算术平均数来减小偶然误差的常规操作，其背后的数学数理依据正是本题所证明的平方和最小化原理。 结论推广：

• 若不仅考虑差的平方和最小，而是为每个数据引入不同的权重 $w_i$（即考虑加权误差和 $\sum w_i(a-a_i{)}^2$ 最小），则通过同样的方法可推导出其最佳近似值为加权平均数：$a=\frac{\sum w_i{a}_i}{\sum w_i}$。
• 若将条件改为“$a$ 与各数据 $a_i$ 的绝对值之和 $\sum |a-a_i|$ 最小”，则对应的最佳近似值 $a$ 不再是平均数，而是这组数据的中位数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1995-全国卷文-25 解-市场平衡价格的实际应用（函数建模）
• 1998-上海理-21 解-三次函数的应用