1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题

本题导读

本题考查增长率与不等式的实际应用。核心在于把文字条件翻译成关于耕地减少量的不等式。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 某地现有耕地 $10000$ 公顷，规划 $10$ 年后粮食单产比现在增加 $22\%$，人均粮食占有量比现在提高 $10\%$.如果人口年增长率为 $1\%$，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 $1$ 公顷）？（粮食单产 $=\frac{\text{总产量}}{\text{耕地面积}}$，人均粮食占有量 $=\frac{\text{总产量}}{\text{总人口数}}$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设现在单产、人口数、每年减少耕地量。
2. 由“人均粮食占有量提高 $10\%$”列不等式求减少量上限。

✅【答案】

Success

$4$ 公顷

✍【详细解析】

Abstract

设现在的粮食单产为 $r$，总人口数为 $N$，$10$ 年后耕地面积为 $S$，平均每年减少耕地 $x$ 公顷，则 $S=10000-10x$。$10$ 年后单产为 $1.22r$，人口数为 $1.01^{10}N$。要使人均粮食占有量至少比现在提高 $10\%$，应有 $\frac{1.22rS}{1.01^{10}N}\ge \frac{1.10\cdot 10000r}{N}$。 因 $r>0$、$N>0$，约去得 $S\ge \frac{1.10\times 10000\times 1.01^{10}}{1.22}\approx 9959.707$。于是 $10000-10x\ge 9959.707$，即 $x\le \frac{10000-9959.707}{10}=4.029$。精确到 $1$ 公顷，耕地平均每年至多减少 $4$ 公顷。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率的实际应用题

核心方法：设每年减少 $x$ 公顷，$S=10000-10x$；由 $\frac{1.22rS}{1.01^{10}N}\ge \frac{1.10\cdot 10000r}{N}$ 得 $S\ge \frac{1.10\times 10000\times 1.01^{10}}{1.22}\approx 9959.7$，故 $x\le 4.03$，取 $x=4$

避坑指南：建立不等式解实际最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材增长率应用

结论推广：一般地，把文字条件翻译成不等式

方法推广：建模解不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值
• 1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值