1984-全国文-17 解-增长率的应用题

本题导读

本题考查增长率问题与对数估算。核心在于把年产量表示为等比数列通项后取对数。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 某工厂 1983 年生产某种产品 2 万件，计划从 1984 年开始，每年的产量比上一年增长 20%.问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件（已知 $\lg 2=0.3010$，$\lg 3=0.4771$）.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_n=2(1.2{)}^{n-1}>12$，$n=1+\frac{\lg 6}{\lg 1.2}$，代入已知对数值估算。

✅【答案】

Success

从 1993 年开始

✍【详细解析】

Abstract

以 1983 年为第 1 年，设第 $n$ 年的产量为 $a_n$（单位：万件），则 $a_1=2$，$a_n=2(1.2{)}^{n-1}$。令 $2(1.2{)}^{n-1}=12$，即 $n=1+\frac{\lg 6}{\lg 1.2}$。由 $\lg 6=\lg 2+\lg 3=0.7781$，$\lg 5=1-\lg 2=0.6990$，得 $\lg 1.2=\lg \frac{6}{5}=0.7781-0.6990=0.0791$。故 $n=1+\frac{0.7781}{0.0791}\approx 10.84$。数列 $\{a_n\}$ 递增且 $n$ 为正整数，所以从 $n=11$ 起产量超过 12 万件。第 11 年对应 $1983+10=1993$ 年，故从 1993 年开始。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率的应用题

核心方法：等比数列通项与对数求解

避坑指南：$2(1.2{)}^{n-1}>12$，$n=1+\frac{\lg 6}{\lg 1.2}\approx 10.84$，取 $n=11$ 即 1993 年

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的实际应用

结论推广：增长率问题的对数求解

方法推广：估算与取整

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1995-上海文-11 填-指数增长模型