1981-全国文-07 解-人口增长率与对数

本题导读

本题考查人口增长率的估算。核心在于指数模型与对数运算。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） 设 1980 年底我国人口以 10 亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增 $2\%$，那么到 2000 年底将达到多少？

(2)要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？ 下列对数值可供选用：$\lg 1.0087=0.00377$，$\lg 1.0092=0.00396$，$\lg 1.0096=0.00417$，$\lg 1.0200=0.00860$，$\lg 1.2000=0.07918$，$\lg 1.3098=0.11720$，$\lg 1.4568=0.16340$，$\lg 1.4859=0.17200$，$\lg 1.5157=0.18060$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$10\times 1.02^{20}$；(2)设递增率 $x$，$10(1+x{)}^{20}\le 12$，取对数估算。

✅【答案】

Success

(1)$14.859$ 亿；(2)$0.92\%$

✍【详细解析】

Abstract

(1)到 2000 年底人口为 $10\times (1+0.02{)}^{20}=10\times 1.02^{20}$。由 $\lg 1.02=\lg 1.0200=0.00860$，得 $20\lg 1.02=0.17200=\lg 1.4859$，故 $1.02^{20}=1.4859$，人口约为 $14.859$ 亿。 (2)设每年递增率为 $x$，则 $10(1+x{)}^{20}\le 12$，即 $(1+x{)}^{20}\le 1.2$。取对数 $20\lg (1+x)\le \lg 1.2=0.07918$，故 $\lg (1+x)\le 0.003959$。查表 $\lg 1.0092=0.00396\approx 0.003959$，$\lg 1.0096=0.00417>0.003959$，故 $1+x\le 1.0092$，$x\le 0.0092$。所以递增率最高约为 $0.92\%$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：人口增长率与对数

核心方法：等比数列与对数

避坑指南：$10(1+0.02{)}^{20}$，取对数估算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：增长率问题

结论推广：$a(1+r{)}^n$ 与对数估算

方法推广：指数模型与对数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-17 解-增长率的应用题
• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题