1993-旧高考理-07 单-等比数列与对数求和

本题导读

本题考查等比数列的性质（两项乘积的对称性），以及对数的运算性质（积的对数等于对数之和）。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)）在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} a_{6} = 9$ ，则 $lo g_{3} a_{1} + lo g_{3} a_{2} + \dots + lo g_{3} a_{10}$ 的值为 ()

A. 12　　　　　　B. 10　　　　　　C. 8　　　　　　D. $2 + lo g_{3} 5$

🔍【思路分析】

破题导航

对数变形：利用对数的性质 $lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$ ，将目标式化为一个对数项： $lo g_{3} (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{10})$ 。 利用等比数列对称性：在等比数列中，若 $i + j = k + m$ ，则 $a_{i} \cdot a_{j} = a_{k} \cdot a_{m}$ 。前 10 项的乘积可以两两配对，每对的下标和均为 11，从而可以全部转化为 $a_{5} a_{6}$ 。 代入求值：计算出前 10 项的总乘积，代回对数式中得出最后常数结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（对称配对法）： 设目标代数式为 $W$ 。利用对数的加法运算性质，将多项式转化为真数相乘的结构： $W = lo g_{3} a_{1} + lo g_{3} a_{2} + \dots + lo g_{3} a_{10} = lo g_{3} (a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{10})$

考虑真数部分前 10 项的乘积。根据等比数列的性质，当两项的倒数下标之和相等时，它们的乘积相等。我们将这 10 项进行首尾对称配对，共有 5 组： $a_{1} \cdot a_{10} = a_{2} \cdot a_{9} = a_{3} \cdot a_{8} = a_{4} \cdot a_{7} = a_{5} \cdot a_{6}$

因为每组的后脚标之和均满足 $1 + 10 = 2 + 9 = \dots = 5 + 6 = 11$ 。所以，前 10 项的乘积可以整体表示为： $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{10} = (a_{5} \cdot a_{6})^{5}$

已知 $a_{5} a_{6} = 9$ ，代入总乘积中： $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{10} = 9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$

将真数的化简结果代回原对数式 $W$ 中： $W = lo g_{3} (3^{10}) = 10$

故选 B

方法二（特殊值代入法）： 由于该选择题结果为定值，可以构造一个满足 $a_{5} a_{6} = 9$ 的特殊常数等比数列。令公比 $q = 1$ ，则该数列为常数数列，即 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{10}$ 。由 $a_{5} a_{6} = 9 ⟹ a_{5}^{2} = 9$ ，因为各项均为正数，得 $a_{5} = 3$ 。所以该数列的各项均等于 3。代入目标式直接口算： $lo g_{3} 3 + lo g_{3} 3 + \dots + lo g_{3} 3 = 1 + 1 + \dots + 1 = 10$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数运算公式 $\sum lo g_{a} a_{i} = lo g_{a} (\prod a_{i})$ ，等比数列下标等和项的等积性。

核心方法：对称转化法、特值法。

避坑指南：

极易将等比数列的性质与等差数列的性质（ $a_{1} + a_{10} = a_{5} + a_{6}$ ）混淆。等差数列对应的是对数真数“相加”，而等比数列对应的是“相乘”，切忌用错公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于等比数列与对数函数交汇的传统高频基础题。其本质是因为对数函数具有将乘法运算转化为加法运算的同构特性，所以若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 ${lo g_{a} a_{n}}$ 必然构成等差数列。

结论推广：对于各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ，其前 $2 k$ 项对数求和的通用推广通式为： $\sum_{i = 1}^{2 k} lo g_{a} a_{i} = k \cdot lo g_{a} (a_{k} a_{k + 1})$ 本题中 $2 k = 10 ⟹ k = 5$ ，直接口算得 $5 \times lo g_{3} 9 = 5 \times 2 = 10$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.02 函数的四大性质

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

1977-福建文-01 解-综合小题九连

1981-全国文-07 解-人口增长率与对数

1987-上海-12 填-指数式的对数运算

∑ ( Math )

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1993-旧高考理-07 单-等比数列与对数求和

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