1977-福建文-01 解-综合小题九连

本题导读

本题考查九道小题的综合计算。核心在于凑零因子、$9^0=1$、相似比例与诱导公式各按基本方法逐项击破。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） (1)计算：$5-3\times \left[{\left(-\frac{3^3}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}+10^{31}\times \left(0.25-2^{-2}\right)\right]÷9^0$.

(2)求 $\cos (-840^{\circ })$ 的值.

(3)化简：$\sqrt{(2x-3{)}^2}$.

(4)如图，在 $△ABC$ 中，$MN\parallel BC$，$MN=1$ cm，$BC=3$ cm，$BM=AM+2$，求 $AM$ 的长.

(5)已知 $\lg 3=0.4771$，$\lg x=3.4771$，求 $x$.

(6)求 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-3x+2}$.

(7)求函数 $y=x^2+2x-4$ 的极小值.

(8)已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$，求 $\tan \alpha$ 的值.

(9)写出等比数列 $-\frac{2}{9},\frac{2}{27},-\frac{2}{81},\cdots$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$0.25=2^{-2}$ 凑出零因子，$9^0=1$，剩 $5-3\times (-\frac{2}{3})$；(2)负角化正角周期化；(3)开方取绝对值分类；(4)$△AMN\sim △ABC$ 比例；(5)$3.4771=0.4771+3$；(6)约去 $x-1$ 再取极限；(7)配方；(8)第二象限 $\cos \alpha <0$；(9)求首项与公比。

✅【答案】

Success

(1)$7$(2)$-\frac{1}{2}$(3)$x\ge \frac{3}{2}$ 时 $2x-3$，$x<\frac{3}{2}$ 时 $3-2x$(4)$AM=2$ cm(5)$x=3000$(6)$-1$(7)极小值 $-5$(8)$-\frac{3}{4}$(9)$a_n=-\frac{2}{9}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $-\frac{3^3}{8}=-\frac{27}{8}={\left(-\frac{3}{2}\right)}^3$，所以 ${\left(-\frac{3^3}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}$。又因为 $0.25=\frac{1}{4}=2^{-2}$，所以 $10^{31}(0.25-2^{-2})=0$，且 $9^0=1$。因此原式 $=5-3\times \left(-\frac{2}{3}\right)÷1=7$。 (2)$\cos (-840^{\circ })=\cos 840^{\circ }=\cos (2\times 360^{\circ }+120^{\circ })=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。 (3)由算术平方根的定义，$\sqrt{(2x-3{)}^2}=|2x-3|$：当 $x\ge \frac{3}{2}$ 时为 $2x-3$；当 $x<\frac{3}{2}$ 时为 $3-2x$。 (4)因为 $MN\parallel BC$，所以 $△AMN\sim △ABC$，$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$。又 $AB=AM+BM=AM+(AM+2)=2AM+2$，故 $\frac{AM}{2AM+2}=\frac{1}{3}$，$3AM=2AM+2$，$AM=2$ cm。 (5)因为 $3.4771=0.4771+3=\lg 3+\lg 1000=\lg 3000$，所以 $\lg x=\lg 3000$，故 $x=3000$。 (6)$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，当 $x\ne 1$ 时 $\frac{x-1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x-2}$，故 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x-2}=-1$。 (7)配方得 $y=(x+1{)}^2-5\ge -5$，当且仅当 $x=-1$ 时等号成立，故极小值为 $-5$。 (8)因 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$，$\cos \alpha <0$，$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$，故 $\tan \alpha =\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$。 (9)首项 $a_1=-\frac{2}{9}$，公比 $q=\frac{2/27}{-2/9}=-\frac{1}{3}$，通项公式 $a_n=-\frac{2}{9}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$（$n=1,2,\cdots$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题九连

核心方法：九小题分步击破

避坑指南：$0.25=2^{-2}$ 凑零因子；$9^0=1$；相似比例解 $AM$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：九连

结论推广：(1)$7$；(6)$-1$；(8)$-\frac{3}{4}$ 等

方法推广：凑零因子是捷径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1977-浙江-01 解-根式指数运算
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值