1977-湖北-01 解-综合小题八连

本题导读

本题考查八道小题的综合计算。核心在于算术根取绝对值、增根检验、定义域条件核查与半角公式各按基本方法逐项击破。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） (1)计算：$\sqrt{(-3{)}^2}$；$\sqrt[3]{(-27{)}^3}$.

(2)计算：${\log }_{2}2+{\log }_{5}1-{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}$.

(3)计算：${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^3\cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-\frac{5}{6}}$.

(4)解方程：$x-\sqrt{8-x^2}=0$.

(5)当 $m\le 1$ 时，计算 $\sqrt{(m-1{)}^2}$.

(6)求函数 $y=\sqrt{\frac{2-x}{x+4}}$ 的定义域.

(7)分解因式：$x^4+x^2{y}^2+y^4$.

(8)证明：$\tan 22^{\circ }30^{\prime }=\sqrt{2}-1$（不查表）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)算术根与奇次幂；(2)${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}=3$；(3)统一为 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$ 的指数相加；(4)平方后验根；(5)$|m-1|=1-m$；(6)被开方数非负且分母非零；(7)添项配 $(x^2+y^2{)}^2$；(8)$\tan \frac{45^{\circ }}{2}=\frac{1-\cos 45^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$。

✅【答案】

Success

(1)$3$；$-27$(2)$-2$(3)$1$(4)$x=2$(5)$1-m$(6)$x\le 2$ 且 $x\ne -4$(7)$(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$(8)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{3^2}=3$；$\sqrt[3]{(-27{)}^3}=-27$。 (2)${\log }_{2}2+{\log }_{5}1-{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}=1+0-{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=1-3{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}=1-3=-2$。 (3)${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^3\cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{{\left(\frac{2}{3}\right)}^9}\cdot \sqrt[6]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}\cdot \sqrt[6]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^5}=\sqrt[6]{{\left(\frac{2}{3}\right)}^9}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{9}{2}}=1$。 (4)移项，得 $x=\sqrt{8-x^2}$。两边平方，得 $x^2=8-x^2$。所以 $x^2=4$，$x=\pm 2$。经检验，知 $x=-2$ 不适合原方程，是增根舍去，故原方程的解为 $x=2$。 (5)因为 $m\le 1$，所以 $m-1\le 0$，故 $\sqrt{(m-1{)}^2}=1-m$。 (6)要使函数有意义，需 $2-x\ge 0$ 且 $x+4\ne 0$（被开方数 $\frac{2-x}{x+4}\ge 0$ 且分母非零），解得 $-4<x\le 2$ 和 $x<-4$。因此定义域为 $x\le 2$ 且 $x\ne -4$ 的实数。 (7)在有理式范围内：$x^4+x^2{y}^2+y^4=(x^2+y^2{)}^2-x^2{y}^2=(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$。 (8)$\tan 22^{\circ }30^{\prime }=\tan \frac{45^{\circ }}{2}=\frac{1-\cos 45^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2}=\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题八连

核心方法：八小题分步击破

避坑指南：算术根、对数、指数运算、增根检验、半角公式各按基本方法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：八连

结论推广：(1)$3$、$-27$(2)$-2$(3)$1$(4)$x=2$(5)$1-m$(6)$x\le 2$ 且 $x\ne -4$(7)$(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$(8)$\sqrt{2}-1$

方法推广：增根必须检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1977-福建文-01 解-综合小题九连
• 1977-安徽文-01 解-综合计算五连