1977-湖南-01 解-综合小题六连

本题导读

本题考查对数求值、算术根化简、定义域、不等式、三角恒等式与椭圆方程六项基础。核心在于算术根看符号、带分数读准、椭圆过点定长短轴。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） (1)${\log }_{x}3\frac{3}{8}=-1\frac{1}{2}$，求 $x$.

(2)$\lg 4+\lg 9+2\sqrt{(\lg 6{)}^2-2\lg 6+1}=?$

(3)求函数 $y=\frac{\sqrt{3-x}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域（即自变量 $x$ 的取值范围）.

(4)解不等式：$x^2-3x-28<0$.

(5)证明：$\cos 15^{\circ }+\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

(6)求中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，且经过 $A(5,0)$，$B\left(4,\frac{12}{5}\right)$ 两点的椭圆方程.

🔍【思路分析】

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(1)带分数还原 $\frac{27}{8}$ 与 $-\frac{3}{2}$，对数定义幂化；(2)$\lg 6-1<0$ 开方取正负号；(3)分子非负分母为正；(4)因式分解穿根；(5)平方法或和差化积；(6)过 $(5,0)$ 得 $a=5$，再代入另一点求 $b$。

✅【答案】

Success

(1)$x=\frac{4}{9}$(2)$2$(3)$2<x\le 3$(4)$-4<x<7$(5)证明见解析(6)$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$，$-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$。由对数定义得 $x^{-\frac{3}{2}}=\frac{27}{8}$，即 ${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}$，所以 $x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$，$x=\frac{4}{9}$。 (2)因为 $\lg 6<1$，所以 $\sqrt{(\lg 6{)}^2-2\lg 6+1}=\sqrt{(\lg 6-1{)}^2}=1-\lg 6$。原式 $=\lg 4+\lg 9+2(1-\lg 6)=\lg 36+2-2\lg 6=2\lg 6+2-2\lg 6=2$。 (3)要使函数有意义，需 $3-x\ge 0$ 且 $x-2>0$，解得 $2<x\le 3$。 (4)$x^2-3x-28=(x-7)(x+4)$，原不等式即 $(x-7)(x+4)<0$，解得 $-4<x<7$。 (5)【法一】${\left(\cos 15^{\circ }+\sin 15^{\circ }\right)}^2={\cos }^{2}15^{\circ }+{\sin }^{2}15^{\circ }+2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=1+\sin 30^{\circ }=\frac{3}{2}$。因为 $\cos 15^{\circ }+\sin 15^{\circ }>0$，所以 $\cos 15^{\circ }+\sin 15^{\circ }=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。【法二】$\cos 15^{\circ }+\sin 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin \frac{75^{\circ }+15^{\circ }}{2}\cos \frac{75^{\circ }-15^{\circ }}{2}=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 (6)椭圆过点 $(5,0)$，代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $a=5$。又过 $B\left(4,\frac{12}{5}\right)$，即 $\frac{16}{25}+\frac{144}{25b^2}=1$，解得 $b^2=16$，$b=4$。所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题六连

核心方法：六小题分步击破

避坑指南：带分数 $3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$、$-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$ 读准；$\sqrt{(\lg 6-1{)}^2}=1-\lg 6$ 看符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合小题

结论推广：(1)$x=\frac{4}{9}$(2)$2$(3)$2<x\le 3$(4)$-4<x<7$(6)$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

方法推广：算术根先判符号再开方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-01 解-综合小题八连
• 1977-安徽理-01 解-综合小题七连