1977-贵州-03 解-正切求正弦

本题导读

本题考查同角关系。核心在于 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha$ 配完全平方，正负号由象限定。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 已知 $\tan \alpha =\frac{2ab}{a^2-b^2}$，求 $\sin \alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\sec }^2\alpha =\frac{(a^2+b^2{)}^2}{(a^2-b^2{)}^2}$ 得 $\cos \alpha =\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$，$\sin \alpha =\tan \alpha \cos \alpha$。

✅【答案】

Success

$\sin \alpha =\pm \frac{2ab}{a^2+b^2}$

✍【详细解析】

Abstract

法一：${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{4a^2{b}^2}{(a^2-b^2{)}^2}=\frac{(a^2+b^2{)}^2}{(a^2-b^2{)}^2}$。所以 $\sec \alpha =\pm \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$，故 $\cos \alpha =\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$。因此 $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{2ab}{a^2-b^2}\cdot \left(\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)=\pm \frac{2ab}{a^2+b^2}$。法二：设 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2ab}{a^2-b^2}$ 与 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 联立，由第一式 $\cos \alpha =\frac{a^2-b^2}{2ab}\sin \alpha$，代入第二式得 ${\sin }^2\alpha =\frac{4a^2{b}^2}{(a^2+b^2{)}^2}$，所以 $\sin \alpha =\pm \frac{2ab}{a^2+b^2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切求正弦

核心方法：正弦定理构造

避坑指南：${\sec }^2\alpha =\frac{(a^2+b^2{)}^2}{(a^2-b^2{)}^2}$ 再乘 $\tan \alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系

结论推广：$\sin \alpha =\pm \frac{2ab}{a^2+b^2}$

方法推广：正负号由象限定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1977-广东-04 解-切余互化证恒等
• 1977-湖南-01 解-综合小题六连