1977-新疆理-12 解-对数化三角求值

本题导读

本题考查对数与三角综合（参考题）。核心在于对数运算律化三角方程，用 sinxcosx 求 sinx-cosx。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 已知 $0^{\circ }<x<45^{\circ }$，且有 $\lg \tan x-\lg \sin x=\lg \cos x-\lg \cot x+2\lg 3-\frac{3}{2}\lg 2$，试求 $\sin x-\cos x$ 的值.

🔍【思路分析】

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化 $\lg \frac{\tan x}{\sin x}=\lg \frac{\cos x\cdot 3^2}{\cot x\cdot 2^{3/2}}$，得 $\frac{1}{\cos x}=\frac{9\sin x}{2\sqrt{2}}$，$\sin x\cos x=\frac{2\sqrt{2}}{9}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1-2\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由对数性质，等式化为 $\lg \frac{\tan x}{\sin x}=\lg \frac{\cos x\cdot 3^2}{\cot x\cdot 2^{3/2}}$，即 $\lg \frac{1}{\cos x}=\lg \frac{9\sin x}{2\sqrt{2}}$，故 $\frac{1}{\cos x}=\frac{9\sin x}{2\sqrt{2}}$，$\sin x\cos x=\frac{2\sqrt{2}}{9}$。因 $0<x<45^{\circ }$ 得 $\sin x<\cos x$，$\sin x-\cos x<0$，故 $\sin x-\cos x=-\sqrt{(\sin x-\cos x{)}^2}=-\sqrt{1-2\sin x\cos x}=-\sqrt{1-2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{9}}=\frac{1-2\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数化三角求值

核心方法：对数运算律化三角方程，用平方关系求值

避坑指南：1/cosx=9sinx/(2√2)，sinxcosx=2√2/9，sinx-cosx=(1-2√2)/3。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数与三角综合，考查对数运算律与三角求值。

结论推广：对数方程化简后化三角方程，用 sinxcosx 求 sinx-cosx。

方法推广：0<x<45° 推出 sinx<cosx，取负号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-河南-02 解-对数综合求值
• 1977-贵州-03 解-正切求正弦