1977-河南-02 解-对数综合求值

本题导读

本题考查对数综合求值。核心在于分母三项分别化为 $\lg 2$、$1$、$\lg 0.3$，合并后恰为 $\lg 6$，与分子相约。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 求 $\frac{\lg 3+\lg 2}{\frac{1}{4}\lg 16+\sqrt{(\lg 1-\lg 10{)}^2}+\frac{1}{2}\lg 0.09}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

分母：$\frac{1}{4}\lg 16=\lg 2$；$\sqrt{(\lg 1-\lg 10{)}^2}=|0-1|=1$；$\frac{1}{2}\lg 0.09=\lg 0.3$。合并 $=\lg 2+1+\lg 0.3=\lg 2+\lg 10+\lg 0.3=\lg 2+\lg 3$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\frac{\lg 3+\lg 2}{\lg 2+\sqrt{(0-1{)}^2}+\lg 0.3}=\frac{\lg 3+\lg 2}{\lg 2+1+\lg 3-\lg 10}=\frac{\lg 3+\lg 2}{\lg 2+1+\lg 3-1}=\frac{\lg 3+\lg 2}{\lg 2+\lg 3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数综合求值

核心方法：逐项化简

避坑指南：$\frac{1}{4}\lg 16=\lg 2$、$\sqrt{(\lg 1-\lg 10{)}^2}=1$、$\frac{1}{2}\lg 0.09=\lg 0.3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求值

结论推广：$1$

方法推广：分母整体恰为 $\lg 6$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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