1977-安徽理-01 解-综合小题七连

本题导读

本题考查七个小题的综合计算。核心在于定义域优先、符号看象限、各按基本公式逐项击破。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） (1)计算：$0.25\times (-2{)}^2-4÷(\sqrt{5}-1{)}^0-{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

(2)求函数 $y={\log }_x(4x-16)$ 的定义域.

(3)求 $\sin (-915^{\circ })$ 的值.

(4)求函数 $y=\arcsin (1-2x)$ 的定义域.

(5)化复数 $-1+i$ 为三角函数式.

(6)化简：$\sec A\cdot \sqrt{1-{\sin }^{2}A}$（$90^{\circ }<A\le 180^{\circ }$）.

(7)已知圆锥的母线长为 $3$ cm，底面直径 $2$ cm，求它的侧面积（$\pi$ 取 $3.14$）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)负指数、零指数、分母有理化逐项算；(2)底数 $x>0$ 且 $x\ne 1$、真数 $4x-16>0$；(3)负角化正角再化锐角；(4)$-1\le 1-2x\le 1$；(5)求模与辐角；(6)$90^{\circ }<A\le 180^{\circ }$ 时 $\cos A<0$；(7)$S_{侧}=\pi RL$。

✅【答案】

Success

(1)$0$(2)$x>2$(3)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$(4)$0\le x\le 1$(5)$\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$(6)$-1$(7)$9.42$ cm${}^2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=\frac{1}{4}\times 4-4÷1-\sqrt{6}+\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=1-4-\sqrt{6}+(3+\sqrt{6})=0$。

(2)底数须满足 $x>0$ 且 $x\ne 1$，真数须满足 $4x-16>0$，解不等式组得 $x>2$。所以定义域为 $x>2$。

(3)$\sin (-915^{\circ })=-\sin 915^{\circ }=-\sin (360^{\circ }\times 2+195^{\circ })=-\sin 195^{\circ }=-\sin (180^{\circ }+15^{\circ })=\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

(4)要使函数有意义，必须 $-1\le 1-2x\le 1$，解得 $0\le x\le 1$。所以定义域为 $0\le x\le 1$。

(5)$-1+i=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$。

(6)$\sec A\cdot \sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sec A\cdot \sqrt{{\cos }^{2}A}=\sec A\cdot (-\cos A)=-1$（因 $90^{\circ }<A\le 180^{\circ }$ 时 $\cos A<0$）。

(7)$S_{侧}=\frac{1}{2}CL=\pi RL=3.14\times 1\times 3=9.42$ cm${}^2$，式中 $C$ 表示底面圆的周长，$L$ 表示母线长，$R$ 是底面圆的半径。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题七连

核心方法：小题分步击破

避坑指南：负指数、零指数、定义域、诱导、反三角、三角形式、侧面积各按基本公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合

结论推广：(1)$0$；(3)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；(6)$-1$

方法推广：定义域优先，符号看象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值
• 1985-广东理-01 填-反三角函数的定义域