1977-安徽文-04 解-定义域

本题导读

本题考查函数定义域。核心在于根式非负与分母非零双条件取交集；$\arcsin$ 要求自变量在 $[-1,1]$。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(文)） 求下列函数的定义域，并在数轴上把它们表示出来： (1)$y=\frac{\sqrt{3+2x}}{3x-1}$；

(2)$y=\arcsin \frac{x}{3}$.

🔍【思路分析】

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(1)$3+2x\ge 0$ 且 $3x-1\ne 0$；(2)$\left|\frac{x}{3}\right|\le 1$。

✅【答案】

Success

(1)$\left[-\frac{3}{2},\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$(2)$[-3,3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$x$ 必须满足两个条件：$3+2x\ge 0$；$3x-1\ne 0$。由第一个条件知 $x\ge -\frac{3}{2}$，由第二个条件知 $x\ne \frac{1}{3}$，故定义域为 $\left[-\frac{3}{2},\frac{1}{3}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{3},+\infty \right)$。 (2)由 $\sin y=\frac{x}{3}$ 知 $\left|\frac{x}{3}\right|\le 1$，即 $-1\le \frac{x}{3}\le 1$，故定义域为 $[-3,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定义域

核心方法：双条件取交集

避坑指南：根式非负 + 分母非零；arcsin 值域 $[-1,1]$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义域

结论推广：(1)$[-\frac{3}{2},\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},+\infty )$；(2)$[-3,3]$

方法推广：数轴表示

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-01 填-反三角函数的定义域
• 1977-安徽理-01 解-综合小题七连