1987-上海-12 填-指数式的对数运算

本题导读

本题考查指数式的对数运算。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设 $2^a=5^b=10$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$a\log 2=b\log 5=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log 2+\log 5$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2^a=10$ 得 $a\log 2=1$，$\frac{1}{a}=\log 2$；由 $5^b=10$ 得 $\frac{1}{b}=\log 5$。故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log 2+\log 5=\log 10=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数式的对数运算

核心方法：$2^a=5^b=10$，取对数 $a\log 2=b\log 5=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log 2+\log 5=1$。

避坑指南：$\frac{1}{a}=\log 2$、$\frac{1}{b}=\log 5$，$\log 2+\log 5=\log 10=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数式取对数。

结论推广：$a^x=b$ 则 $x={\log }_{a}b$。

方法推广：对数运算 $x=\frac{1}{\log }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1989-上海-07 填-对数方程的求解
• 1990-全国文-01 单-对数方程的求解
• 1988-上海-01 填-指数方程