本题导读
本题考查对数不等式的解法、对数函数的定义域（真数大于 0）。核心在于同底化归法、定义域优先限定法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1993年旧高考(理)） 解不等式： .
🔍【思路分析】
破题导航
真数约束定域：对数式有意义的前提是所有真数必须严格大于 0。由此列出关于 的简单线性不等式组，确定全局定义域。 统一底数：观察发现两项对数的底数分别为 和 。利用对数换底性质 以及 ，将两项统一化为以 2 为底的对数。 数项对数化合并：将常数项 2 同样改写为以 2 为底的对数形式 ，利用对数的运算法则将多项合并为一个单对数不等式。 脱去对数解代数：根据 的单调递增性，直接去掉对数符号，化归为一元二次不等式，最后将解集与定义域取交集得出最终结果。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解： 求原不等式的定义域 根据对数函数的定义，各对数式的真数必须严格大于零，建立不等式组： 解得原不等式的定义域为开区间： x \in (0, 5) \tag{1}
对数式同底化变形 利用对数的运算性质进行化简：
- 对于第二项 ：因为底数 ，根据底数幂前置性质，有：
- 对于第三项 ：因为真数 ，根据真数幂前置性质，有：
将上述两项化简后的结果代回原不等式中：
移项，将带有负号的对数项移至不等号右侧：
利用乘积性质合并求解 根据对数的加法运算法则 ，将右端合并：
由于常数 ，原式等价于：
因为底数 ，对数函数 在其定义域上是严格的单调递增函数。 直接脱去对数符号，不等号方向保持不变：
移项整理，化为标准的一元二次不等式形式：
利用十字相乘法对左端进行因式分解：
解该一元二次不等式，得其两端解集为： x < 1 \quad \text{或} \quad x > 4 \tag{2}
结合定义域确定最终解集 将综合运算得出的代数解集 (2) 与最开始约束的生存定义域 (1) 在数轴上取交集：
求其公共部分，得：
因此，原不等式的解集为 （或用区间表示为 ）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：对数真数必须大于 0 的边界制约，对数运算性质（），同底对数不等式向一元二次不等式的转化。 核心方法：同底化归法。 避坑指南：
- 致命陷阱：漏掉定义域约束。很多考生拿到题目直接开始化简，算出 或 之后直接作为最终答案上交。彻底忽略了当 时 无意义、当 时 无意义的法定事实。记住：解任何对数、根式、分式不等式，动笔第一步永远是先写定义域。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于对数函数与不等式板块的经典解答题。主要考查学生基本运算的严谨度，取材于高中代数教材中“对数函数及其性质”一节的课后综合提能大题。 结论推广：对于形如 () 的对数不等式模型，其标准化的等价化归求解联立不等式组通式为： 掌握此复合映射方程组模型，在后续解题时能极大地优化步骤，防止边界遗漏。
🔗【关联脉络】
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