2000-广东卷理-07 单-对数函数的单调性

本题导读

本题考查对数式的大小比较。解题核心是熟练运用基本不等式（算术平均数与几何平均数的关系）以及利用对数函数的凸性（或运算性质）比较“和的对数”与“对数的和”的大小。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 若 $a>b>1$，$P=\sqrt{\lg a\cdot \lg b}$，$Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$，$R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$，则()

A. $R<P<Q$　　B. $P<Q<R$　　C. $Q<P<R$　　D. $P<R<Q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $P$ 与 $Q$：令 $x=\lg a$, $y=\lg b$。因为 $a>b>1$，所以 $x>y>0$。$P=\sqrt{xy}$ 是几何平均数，$Q=\frac{x+y}{2}$ 是算术平均数。根据均值不等式立刻可得 $P<Q$。
2. 分析 $Q$ 与 $R$：利用对数的加法运算性质，将 $Q$ 变形为 $\frac{1}{2}\lg (ab)=\lg \sqrt{ab}$。此时 $Q=\lg \sqrt{ab}$，而 $R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$。
3. 比较对数的真数：对数的底数为 $10>1$，对数函数单调递增。比较真数 $\sqrt{ab}$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 的大小，再次利用均值不等式得 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$，从而推出 $Q<R$。
4. 综合结论：组合两步结果，即可得出 $P,Q,R$ 的大小关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

已知 $a>b>1$，由于 $y=\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，且 $\lg 1=0$， 所以 $\lg a>\lg b>0$。

步骤一：比较 $P$ 与 $Q$ 令 $x=\lg a>0,y=\lg b>0$，且 $x\ne y$。 $P=\sqrt{xy}$（几何平均数） $Q=\frac{x+y}{2}$（算术平均数） 根据均值不等式，对于不相等的正数 $x,y$，恒有 $\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}$。 因此，$P<Q$。

步骤二：比较 $Q$ 与 $R$ 利用对数的运算性质，将 $Q$ 变形： $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)=\frac{1}{2}\lg (ab)=\lg (ab{)}^{\frac{1}{2}}=\lg \sqrt{ab}$ 已知 $R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$。 因为 $a>b>0$ 且 $a\ne b$，根据均值不等式，对于真数有： $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$ 又因为函数 $y=\lg x$ （底数为 $10>1$）是在其定义域上的单调增函数， 所以 $\lg \sqrt{ab}<\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$， 即 $Q<R$。

综合结论： 将两步比较结果结合，得到 $P<Q<R$。

正确选项为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均值不等式 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$ 的两次嵌套使用；对数函数的单调性及运算规则。
2. 核心方法：均值不等式放缩法；化同底数对数比真数法。若考场上逻辑卡壳，可直接取特殊值代入：如令 $a=100,b=10$。

• $P=\sqrt{2\times 1}=\sqrt{2}\approx 1.414$
• $Q=\frac{1}{2}(2+1)=1.5$
• $R=\lg \left(\frac{110}{2}\right)=\lg 55$。由于 $\lg 31.6\approx 1.5$（即 $10^{1.5}$），显然 $\lg 55>1.5$。
• 故 $P<Q<R$。

3. 避坑指南：切勿将 $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$ 错写成 $\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$。必须牢记“对数的和等于积的对数”，即 $\lg a+\lg b=\lg (ab)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将经典的不等式链串联在了对数函数的背景下。
2. 结论推广：对于任何严格上凸函数（如 $f(x)=\lg x,\ln x,\sqrt{x}$ 等），均有 $\frac{f(a)+f(b)}{2}<f\left(\frac{a+b}{2}\right)$（Jensen不等式）。在本题中，直接由 $f(x)=\lg x$ 为上凸函数即可秒出 $Q<R$ 的结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-上海-12 填-指数式的对数运算
• 1987-广东理-26 填-对数的运算
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角