1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角

本题导读

本题考查诱导公式、开方、指数、对数、定义域与半角的综合运算。核心在于各基础运算的准确运用。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(文)） (1)计算 $\sin (-990^{\circ })$；

(2)化简 $\sqrt{4-12a+9a^2}$；

(3)计算 $\frac{(-27{)}^3\sqrt{(\frac{1}{16}{)}^{-\frac{1}{2}}}}{(-9{)}^0(\frac{3}{2}{)}^7(\frac{1}{2}{)}^{-5}}$；

(4)已知 $\lg 2=0.3010$，$f(x)={\log }_{\sqrt{10}}x$，求 $f(5)$；

(5)求函数 $y=\frac{\sqrt{1-\frac{2}{3}x}}{\sqrt[3]{3x-1}}$ 的定义域；

(6)已知 $\sin \theta =0.6$，求 $(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}{)}^2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

各小问分别用诱导公式、开方、指数、换底、定义域、半角公式。

✅【答案】

Success

(1)$1$；(2)$|2-3a|$；(3)$-72$；(4)$1.398$；(5)$x<\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{3}<x\le \frac{3}{2}$；(6)$0.4$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sin (-990^{\circ })=-\sin (720^{\circ }+270^{\circ })=-\sin 270^{\circ }=1$。 (2)$\sqrt{4-12a+9a^2}=|2-3a|$。 (3)原式 $=-3^2\cdot 2^3=-72$。 (4)$f(5)={\log }_{\sqrt{10}}5=\frac{\lg 10-\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 10}=\frac{1-0.3010}{\frac{1}{2}}=1.398$。 (5)须 $1-\frac{2}{3}x\ge 0$ 且 $3x-1\ne 0$，得 $x<\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{3}<x\le \frac{3}{2}$。 (6)$(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}{)}^2=1-\sin \theta =1-0.6=0.4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：代数运算与三角

核心方法：综合运算

避坑指南：诱导公式、开方、指数、换底、定义域、半角六小问

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合运算

结论推广：答案为 $1,|2-3a|,-72,1.398,0.4$

方法推广：六类基础运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-11 填-分数指数幂
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角