1987-广东文-31 解-对数的运算与方程

本题导读

本题考查对数的运算与方程求解。核心在于利用 $a^2+b^2=c^2$ 合并真数。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 设正数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$.

(1)求证：${\log }_2\left(1+\frac{b+c}{a}\right)+{\log }_2\left(1+\frac{a-c}{b}\right)=1$；

(2)又设 ${\log }_4\left(1+\frac{b+c}{a}\right)=1$，${\log }_8(a+b-c)=\frac{2}{3}$，求 $a$，$b$ 和 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）两个真数相乘 $=\frac{(a+b{)}^2-c^2}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2$；（2）化对数为幂，解方程组。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$a=6$，$b=8$，$c=10$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$1+\frac{b+c}{a}=\frac{a+b+c}{a}$，$1+\frac{a-c}{b}=\frac{a+b-c}{b}$，两真数之积 $=\frac{(a+b{)}^2-c^2}{ab}=\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2$（用 $a^2+b^2=c^2$）。故原式 $={\log }_{2}2=1$。 （2）由 ${\log }_4\left(1+\frac{b+c}{a}\right)=1$ 得 $\frac{a+b+c}{a}=4$，即 $b+c=3a$；由 ${\log }_8(a+b-c)=\frac{2}{3}$ 得 $a+b-c=8^{2/3}=4$。又由（1）${\log }_2\frac{a+b-c}{b}=1-{\log }_{2}4=-1$，故 $\frac{a+b-c}{b}=\frac{1}{2}$，$b=2(a+b-c)=8$。由 $a+b-c=4$ 得 $c=a+4$，代入 $b+c=3a$ 得 $8+a+4=3a$，故 $a=6$，$c=10$。验证 $6^2+8^2=10^2$ ✓。故 $a=6$，$b=8$，$c=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算与方程

核心方法：$a^2+b^2=c^2$，代入对数化简，第二问解方程组。

避坑指南：${\log }_2(1+\frac{b+c}{a})+{\log }_2(1+\frac{a-c}{b})=1$；$a=6,b=8,c=10$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数运算与方程。

结论推广：对数性质化简。

方法推广：解方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-上海-12 填-指数式的对数运算
• 1987-全国文-03 单-换底公式与对数运算
• 1987-广东理-26 填-对数的运算