1979-全国文-06 解-增长率与对数

本题导读

本题考查指数增长与对数近似计算。核心在于由复利模型取对数并近似。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 美国的物价从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：$x<0.1$，可用 $\ln (1+x)\approx x$，取 $\lg 2=0.3$，$\ln 10=2.3$）

🔍【思路分析】

破题导航

设增长率 $x$，由 $100(1+x{)}^{40}=500$ 取自然对数，用 $\ln (1+x)\approx x$。

✅【答案】

Success

约为 $4\%$

✍【详细解析】

Abstract

设每年的物价增长率为 $x$。经过 40 年后，$100(1+x{)}^{40}=500$，即 $(1+x{)}^{40}=5$。两边取自然对数，$40\ln (1+x)=\ln 5$。由 $\lg 5=\lg 10-\lg 2=1-0.3=0.7$，换底得 $\ln 5=\ln 10\cdot \lg 5=2.3\times 0.7=1.61$。因为题设 $\ln (1+x)\approx x$，所以 $x\approx \frac{\ln 5}{40}=\frac{1.61}{40}=0.04025$。因此每年物价增长约为 $4\%$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率与对数

核心方法：对数近似

避坑指南：由 $(1+x{)}^{40}=5$ 取对数，用 $\ln (1+x)\approx x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数增长

结论推广：复利模型 $100(1+x{)}^n$

方法推广：增长率问题统一用指数模型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-07 解-人口增长率与对数
• 1984-全国文-17 解-增长率的应用题